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概要

有理数は整数環から作った商体です。 自然数から整数を作る際、a － b という形で表される数を考えましたが、 それと同様に、有理数は、 2つの整数 m, n を用いて m/n という形で表される数として定義します。

有理数の定義

有理数（rational number）は以下のような手順で定義します。

  • 整数の対(a, b) ∈ Z×Zを用意する。

  • 2つの対p ＝ (a, b), q ＝ (c, d)に対して、「a × d ＝ b × cのとき互いに同値」という同値関係を定める。

  • この同値関係を使って商集合Qを作る。

  • このQを有理数と呼ぶ。

要するに、自然数から整数を作る過程で加法に関して行ったような事を、 乗法に関しても行うことで有理数を作ります。

整数のときと同じく、整数の対 (a, b) を a/b とも書きます。 また、同値類 f(a/1) は整数 a と1対1に対応するので、 これを a と同一視することができ、 整数は有理数の部分集合であるとみなすことができます。

同値類 f(a/1) を単に整数 a で表します。 また、同値類 f(1/a) を a－1 と表します。 a－1 は a の乗法に関する逆元になります。 すなわち、a × (a－1) ＝ 1 が成り立ちます。

有理数の間の関係・演算

有理数の順序

有理数 p ＝ a/b, q の順序関係は

ab ＞ 0 ⇔ a/b は正の有理数
ab ＜ 0 ⇔ a/b は負の有理数

として有理数の正負を定め、

p － q が正 ⇔ p ＞ q

で定義します。

有理数の和・積

2つの有理数 p ＝ (a, b), q ＝ (c, d) の間の和・積を、

p ＋ q ＝ (ad ＋ bc, bd)
p × q ＝ (ac, bd)

で定義します。

代数系としての有理数

有理数は、和に関しても積に関しても可換「群」となり、 和と積の間に分配法則が成り立つので、「体」となります。 体であることを明示的に表すために、有理数を有理数体と呼ぶこともあります。

ちなみに、整数から有理数を作ったときと同様の手順（a, b という元から a/b という形で表される数の集合を作る）で、 任意の「環」から「体」を作る事ができます。 このような手順で作った体を「商体」といいます。

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