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概要

以下のような形式の積分を考えます。

 
 
φ(x, √p(x))dx

ただし、 φ は有理関数、 p(x) は4次の多項式です。 このような形式の積分の代表例として、 楕円の弧長計算が挙げられます。 そのため、この形式の積分を楕円積分(elliptic integral)と呼びます。

同じような形式の積分でも、 p が2次の多項式の場合には、 x = sinθ と置いて変数変換することが出来ます。

また、p が3次の多項式の場合には、 p の実根のうちの1つを α として、 x - α = y2 と置いて変数変換することで、 4次の場合に帰着することが出来ます。

このような形式の積分は、 p が2次の場合には簡単に解析的に計算できますが、 3次・4次(楕円積分)になると、解析的には解けず、その性質も非常に複雑です。 そのため、楕円積分の性質に関する理論は、それだけで本1つになるほどのものです。

執筆予定

一般形
式変形を繰り返すと、楕円積分は以下のいずれかの形式に帰着
 u
 
dx
((1 - x2)(1 - k2x2))
 u
 
x2dx
((1 - x2)(1 - k2x2))
 u
 
dx
(x - a)((1 - x2)(1 - k2x2))

ただし、|k| < 1

これらは、x = sinφ, Δ(φ) = √(1 - k sin2φ) と置くと、以下の3つのパターンのいずれかに帰着します。

 φ
 
dφ
Δ(φ)
 φ
 
Δ(φ)dφ
 φ
 
dφ
(1 + n sinφ) Δ(φ)

これらを上から順に、 第1種不完全楕円積分 F(φ, k) (incomplete elliptic integral)、 第2種不完全楕円積分 E(φ, k)、 第3種不完全楕円積分 Π(φ, k) と呼びます。

特に、φ = π/2 のとき、完全楕円積分(complete elliptic integral)と呼ぶ。 第1種完全楕円積分は K(k) = F(φ, k) と書き表す。

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