目次

超関数

詳しくは別項「超関数」で述べますが、 超関数という考え方では1点だけで値が∞になるような関数(を拡張したもの)を定義できます。 基本的なアイディアとしては、

  • 1点で値が∞になっても、その1点を含む任意の区間での積分の値が有限ならば OK ということにする。

  • 2つの超関数f, gの等値性は、任意の積分区間で

     
     
    f(x)dx =
     
     
    g(x)dxが成り立つかどうかで決める。

という感じです。

これで∞の値を持つ関数(のようなもの)を定義できるわけですが、 これには欠点もあります。 積分によって関数の等値性を決めるため、 1点で値が異なっていても、積分値が同じならば区別がつかないことになります。 1点でも値が異なれば、関数としては別のものになりますが、 超関数としては区別がつきません。

例えば、以下の2つの関数f, gは関数論的には相異なるものですが、超関数論的には同じものになります。 (1点に限らず、可算無限個の点で異なる値を持つ2つの関数は超関数論的には同等。)

f(t) = t
g(t){
t  (t≠0)
1  (t=0)

δ関数

以下のような超関数を考えて見ましょう。

 b
 
a
δ(x)dx = {
1  (区間(a, b)が 0 を含む)
0  (区間(a, b)が 0 を含まない)

このような超関数は、通常の関数の極限として作ることが出来て、 例えば、 以下のようなにして作ることが出来ます。

fa(x){
1
a
  
(-a/2 < x < a/2)
0  (それ以外)
δ(x)
lim
a → 0
fa(x)

この関数は、 x = 0 に置いて∞の値を持ちます。

まとめ

超関数という概念を導入することで、 1点でだけ∞になるような関数を考えることが出来ます。 ただし、全くのノーリスクで∞の概念を得られるわけではなく、 関数として1点で値が異なっていても、超関数としては区別がつかないという欠点もあります。

更新履歴

ブログ