限りなく？

「極限」では極限という考え方について簡単に触れました。 極限では、「限りなく大きくなる」とか「限りなく近づく」とかいう言葉を使いますが、 じゃあ、この「限りなく」というのはどういうことなのでしょうか。

「限りなく近づく」なんて言い方だと、「近似的に成り立つ」とか「漸近的に成り立つ」などという言葉と大差がない感じがします。 こういう曖昧な言葉を使った定義をそのままにしておくと、 議論が広がる余地がなくなるのでいいことではありません。 そこで、この「限りなく」というものを厳密に定める必要があります。

ε‐δ論法

「x がある値 a に限りなく近づく」というのは、 「|x － a|＜δ としたとき、δの値がどんどん小さくなる」と表すことができます。 「f(x) がある値 b に限りなく近づく」というのも、 「|f(x) － b| ＜ε としたとき、εの値がどんどん小さくなる」 と表します。 そして、 「x を限りなく a に近づけたとき、 f(x) が b に限りなく近づく」というのは、 式としては 「|x － a| ＜ δ ⇒ |f(x) － b| ＜ε」 と表して、 δ も ε もどんどん小さくするということになります。

ここで、「δ を限りなく小さくしたときに、ε も限りなく小さくなる」 という言い方をしたのでは、結局「限りなくって何？」という疑問は解決できません。

ここで発想を逆転して、 δ よりも先に ε の方を先に固定してみます。 すなわち、 「ε を任意に小さくできるような δ が存在する」 と言い換えてみましょう。 これなら定式化できます。

右側にある ε が「任意の」で、 左側にある δ が「存在する」なのがポイントです。 すなわち、 δ は ε の値によって決まる従属変数です。 任意の正の実数 ε に対して、

という命題が恒等的に真となるような関数 δ(ε) が存在すると言う感じで考えてもらってOKです。

この考え方を、 ε の方を先に考えて、δ はその従属変数という意味で、 ε－δ論法と呼びます。

数列 a_n の極限なんかもこれと同じように、

で定義します。 これも、 ε の方が「任意の」で N の方が「存在する」です。

まとめ

この考え方の下では∞というものは存在しません。 ∞という概念抜きで「限りなく大きく」や「限りなく近づく」と言うものを表現しています。