概要

以下のような形式の積分を考えます。

ただし、 φ は有理関数、 p(x) は4次の多項式です。 このような形式の積分の代表例として、 楕円の弧長計算が挙げられます。 そのため、この形式の積分を楕円積分（elliptic integral）と呼びます。

同じような形式の積分でも、 p が2次の多項式の場合には、 x ＝ sinθ と置いて変数変換することが出来ます。

また、p が3次の多項式の場合には、 p の実根のうちの1つを α として、 x － α ＝ y² と置いて変数変換することで、 4次の場合に帰着することが出来ます。

このような形式の積分は、 p が2次の場合には簡単に解析的に計算できますが、 3次・4次（楕円積分）になると、解析的には解けず、その性質も非常に複雑です。 そのため、楕円積分の性質に関する理論は、それだけで本1つになるほどのものです。

執筆予定

一般形
式変形を繰り返すと、楕円積分は以下のいずれかの形式に帰着

ただし、|k| ＜ 1。

これらは、x ＝ sinφ, Δ(φ) ＝ √(1 － k sin²φ) と置くと、以下の3つのパターンのいずれかに帰着します。

これらを上から順に、 第1種不完全楕円積分 F(φ, k) （incomplete elliptic integral）、 第2種不完全楕円積分 E(φ, k)、 第3種不完全楕円積分 Π(φ, k) と呼びます。

特に、φ ＝ π/2 のとき、完全楕円積分（complete elliptic integral）と呼ぶ。 第1種完全楕円積分は K(k) ＝ F(φ, k) と書き表す。