概要

逆チェビシェフフィルタ（inverse Chebyshev filter）は、 「チェビシェフフィルタ」とは逆で、 阻止域で等リプルとなるようなローパスフィルタです。

チェビシェフフィルタのことをチェビシェフI型フィルタ、 逆チェビシェフフィルタのことをチェビシェフII型フィルタと呼ぶこともあります。

周波数特性

チェビシェフ特性は以下のような特徴を持っていました。

このチェビシェフ多項式およびチェビシェフ特性の要点をまとめると、表1のようになります。

チェビシェフ特性の要点

	Cn(ω)	|H(ω)| 2
ω ≦ 1のとき	n個の零点を持っていて、－1 ～ 1の間で振動	1 ～ 1 1 ＋ ε2 の間で振動
ω ＞ 1のとき	急激に単調増加	急激に単調減少

チェビシェフ特性に対して、 ε C_n(ω) を 1 / (ε C_n(1/ω)) で置き換えた物が逆チェビシェフ特性です。

1 / (ε C_n(1/ω)) および逆チェビシェフ特性の要点は表2のようになります。

逆チェビシェフ特性の要点

	1 / (Cn(ω))	|HI(ω)| 2
ω ≦ 1のとき	緩やかに単調増加	緩やかに単調減少(1に近い値)
ω ＞ 1のとき	n個の極を持っていて、 絶対値が1 ～ ∞の間で振動	0 ～ 1 1 ＋ 1/ε2 の間で振動

ちなみに、 チェビシェフ特性を H_C、 逆チェビシェフ特性を H_I とすると、 両者の間には、 |H_I(ω)|² ＝ 1 － |H_C(1/ω)|² という関係が成り立ちます。 すなわち、 「逆チェビシェフ特性(ローパス) ＝ 1 － チェビシェフ特性(ハイパス)」となっています。

逆チェビシェフ特性を持つようなフィルタを逆チェビシェフフィルタと呼びます。 チェビシェフフィルタおよび逆チェビシェフフィルタは、 それぞれチェビシェフI型(Chebyshev type I)フィルタ、 チェビシェフII型(Chebyshev type II)フィルタと呼ぶこともあります。

以下の図に、例として、3次、5次、9次の逆チェビシェフフィルタの振幅特性を示します。 この例では、リプル幅は 0.1 で設計しています。

アナログプロトタイプの設計（阻止域周波数固定型）

零極配置

逆チェビシェフフィルタの極は、 チェビシェフフィルタの極の逆数になっています。

また、逆チェビシェフフィルタの零点は、 C_N(

1

ω

) ＝ 0 の解となります。 この解は、

となります。 ラプラス変数 s ＝ i ω で表すと、 伝達関数の零点 s は以下のようになります。

ただし、kは0～(n－1) / 2までの整数です。

アナログプロトタイプ伝達関数

決定された極配置から、チェビシェフフィルタの伝達関数H(s)は以下のようになります。

ただし、α_k, β_k, γ_k は以下の式で表される値です。 （α_k, β_k は（I 型）チェビシェフフィルタのものと同じ。）

設計仕様

透過域/阻止域の周波数/リプル （A_p, r_s, ω_p） を仕様として与えたとき、 仕様を満たす最小の次数 N とパラメータ ε を求める方法について説明します。 （ω_s は 1 で固定。）

まず、阻止域リプルから ε を決定します。 図4に示すように、

ε2

1 ＋ ε2

＝ r_s² なので、

ε ＝ √

rs2

1 － rs2

が得られます。

また、

ε CN(1 / ωp)2

1 ＋ ( ε CN(1 / ωp)2)

≦ A_p² より、 C_N(1 / ω_p) ≧

1

ε

√

Ap2

1 － Ap2

が得られます。 これに、チェビシェフ多項式の定義 C_n(x) ＝ cos(n cos^－1 x) を代入することで、

N ≧

cosh－1 1 ε √ Ap2 1 － Ap2

cosh－1 1 / ωp

が得られます。 この式を満たすような最小の N を選びます。

アナログプロトタイプの設計（透過域周波数固定型）

「アナログプロトタイプの設計（阻止域周波数固定型）」で説明した伝達関数では、 阻止域周波数が 1 で固定になります。 透過域周波数の方を固定にして設計するために、

(ε Cn(1/ω))2

1 ＋ (ε Cn(1/ω))2

という伝達関数の代わりに、

という式を使う手法もあります。

零極配置

阻止域周波数固定型の「零極配置」を元に、 ε および零点・極を以下のように置き換えます。

ε →

1

ε Cn(ωs)

零点・極 →

1

ωs

倍する

アナログプロトタイプ伝達関数

阻止域周波数固定型の「アナログプロトタイプ伝達関数」を元に、 α_k, β_k, γ_k を以下のように置き換えます。

α_k, β →

1

ωs

倍する

β_k, γ_k →

1

ωs2

倍する

設計仕様

透過域/阻止域の周波数/リプル （A_p, r_s, ω_s） を仕様として与えたとき、 仕様を満たす最小の次数 N とパラメータ ε を求める方法について説明します。 （ω_p は 1 で固定。）

図4より、 透過域周波数固定型の逆チェビシェフフィルタの設計仕様は、 （I型）チェビシェフフィルタの設計仕様（「設計仕様」参照）と同じになります。 すなわち、 ε は、

となり、 N は、

N ≧

cosh－1 √ 1 rs2 － 1 ε

cosh－1 ωs

を満たすような最小のものを選びます。