概要

分母・分子がともに2次のIIRフィルタを双2次フィルタと呼びます。 双2次フィルタは、以下のような理由から、非常によく利用されています。

• 単純。

• 設計手法が確立している。

• 直列に繋ぐことでさまざまな特性を作ることができる。

LCR 回路

以下のような LCR 回路でローパスフィルタが作れます。

この回路の伝達特性 T(s) は、

となります。 ここで、 ω₀ ＝ √

1

LC

（無損失（R ＝ 0）時の共振周波数）、 Q ＝

L

R

ω₀ ＝

1

R

√

L

C

（クオリティファクタ（LCR 回路でコイルの損失率を表すパラメータ）） と置くと、

と表すことができます。 この伝達関数の周波数特性は、 ω₀ を境にして減衰を始めるローパス特性になっています。 すなわち、このような RCL 回路を用いて、ローパスフィルタを作ることが出来ます。 ちなみに、クオリティファクタ Q を変えると、カットオフ特性のなだらかさなどが変化します。

ここではローパスフィルタを例に挙げましたが、 RCL の配置をいろいろと変えることで、さまざまな特性を作ることができます。

双2次フィルタ

伝達関数の分母・分子ともに2次のフィルタを双2次フィルタ（biquadratic filter、あるいは biquad filter）といいます。 （余談ですが、quad- という接頭語は“4”という意味を表します。 quadratic は“四角形の”という意味合いから“2次元の”という意味で使われる言葉です。 ついでに、bi- は“2”を表す接頭語です。 biquadratic は文字通り解釈すると、“2つの2次元”なわけですが、“4次元の”という意味と、“分母・分子ともに2次元”という意味で使われることがあります。 4（quad）なのに2次、 2×4（biquad）でもやっぱり2次だったり。）

先ほど示したように、RCL 回路を用いてアナログの双2次フィルタを作ることができます。 分母・分子ともに2次という制限の元でも結構いろんなことができます（図2）。 また、双2次フィルタの組み合わせ（直列に繋ぐ）によって、より複雑な特性を作り出すことも出来ます。

フィルタ設計が容易であることや、設計手法が確立されたものであることなどから、 双2次フィルタは非常によく利用されています。

Robert Bristow-Johnson という方が、 ネット上で（オーディオ用に）双2次フィルタの設計時に使う公式をまとめたものを公開しています （通称、RBJ Audio-EQ-Cookbook、参考 URL: http://www.harmony-central.com/Computer/Programming/Audio-EQ-Cookbook.txt）。 以下、この RBJ Cookbook の内容について簡単に説明します（和訳しただけの部分も多いですが）。

設計手法概要

双2次フィルタの設計では、 まず、アナログの双2次伝達関数を作ります。 このとき、フィルタの特性周波数を 1 として伝達関数を作ります。 そして、「周波数変換」で説明したような手法を用いて、周波数変換およびアナログ→ディジタル変換を行います。 双1次変換を用いてアナログ→ディジタル変換を行うと、 フィルタの次数は変わらないので、ディジタルの双2次フィルタを作ることができます。

双2次フィルタを設計する際には、以下のようなパラメータを用います。

• F_s… ディジタル信号のサンプリング周波数。

• f₀… 特性周波数。要するに、ローパスフィルタならカットオフ周波数、ピーキングフィルタなら中心周波数。

• gain… ピーキングフィルタやシェルフフィルタの利得[dB]。

• Q… RCL 回路で説明したクオリティファクタに相当するパラメータ。ローパス・ハイパスフィルタのカットオフ特性や、ピーキングフィルタのピークの鋭さが変わる。

Q に関しては、ピーキングフィルタではピークの幅 BW を、シェルフフィルタではシェルフスロープに関するパラメータ S, a を与えて Q を計算することも多いです。

また、中間的なパラメータとして、以下のようなものを用います。

• ω₀ ＝ 2 π f₀ / F_s… 特性周波数を2πで正規化したもの。

• sin ω₀ , cos ω₀… 下の説明参照

• α ＝

  sin ω0

  Q

• A ＝ √10^{gain / 20}… ピーキングフィルタやシェルフフィルタの利得[dB]をリニア値にしたものの平方根。

以下のような式を用いると、周波数変換と双1次変換を同時に行うことができます。

ただし、ω₀ は特性周波数 f₀を正規化した角周波数です。 tan

ω0

2

およびその2乗は、 sin ω₀ , cos ω₀ を使って書き換えることができるので、 中間パラメータとして sin ω₀ , cos ω₀ が頻繁に出てくることになります。

以下、具体的な双2次フィルタの話になりますが、 元となるアナログ伝達関数 H(s) と、 ディジタルフィルタの係数 a₀ , a₁ , a₂ , b₀ , b₁ , b₂ のみを示します。 係数の意味は以下の通りです。

ちなみに、 次節以降で結果だけ示す伝達関数の導出方法ですが、 例えばローパスフィルタなら、 f(0)= 1, f'(0)= 0, f(∞)= 0, f'(∞)= 1 というような条件から係数を計算します。

ローパスフィルタ（low-pass filter）

低域透過フィルタ。 低周波数信号のみを通すフィルタ。

ハイパスフィルタ（high-pass filter）

高域透過フィルタ。 高周波数信号のみを通すフィルタ。

バンドパスフィルタ（band-pass filter）

帯域透過フィルタ。 特定の帯域信号のみを通すフィルタ。 Q によって透過域の利得が変わる（帯域幅一定）ものと、 帯域幅が変わる（利得は Q で一定）のものがある。

帯域幅一定版

利得一定版

バンドストップフィルタ（band-stop filter）

帯域阻止フィルタ。 特定の帯域信号のみを通さないフィルタ。 ノッチ（notch）フィルタともいう。

オールパスフィルタ（all-pass filter）

全域透過フィルタ。 振幅特性はそのまま（全域透過、all-pass）で、 位相特性のみを変化させるフィルタ。

ピーキングフィルタ（peaking filter）

振幅特性にピークやディップ（山や谷）を作るフィルタ。 周波数ごとの音量調整に使えるので、音響分野では特によく使われる（いわゆる、イコライザ）。 なので、分野によってはピーキングイコライザ（peaking equalizer）と呼ぶ。

あるいは、 H(s) ＝

s2 ＋ A2 Q s ＋ 1

s2 ＋ 1 Q s ＋ 1

または H(s) ＝

s2 ＋ 1 Q s ＋ 1

s2 ＋ 1 A2 Q s ＋ 1

というように、 A を分母または分子に集中させる場合もある。 （通常、 A が1以上（gain [dB] が正）のとき分母に、 A が1以下（gain [dB] が負）のとき分子に集中させる。）

ローシェルフフィルタ（low-shelf filter, low-shelving filter）

振幅特性の低域に棚状の利得をかける。 ローブースト（low-boost）フィルタともいう。

ハイシェルフフィルタ（high-shelf filter, high-shelving filter）

振幅特性の高域に棚状の利得をかける。 ハイブースト（high-boost）フィルタともいう。