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電磁ポテンシャル

(i) × E = −
∂t
B
(ii) × H = J +
∂t
D
(iii) D = ρ
(iv) B = 0

(iv)より B はソレノイダル場なので、 B = ×A となるベクトルポテンシャル A が存在します。 これを(i)に代入すると、

× E = −×(
∂t
A )
× ( E +
∂t
A ) = 0

が得られます。 この式より E +

∂t
A は保存場になっているので、 E +
∂t
A = −φ
となるスカラーポテンシャル φ が存在します。 以上のことをまとめると、電場 E および E 電束密度 B はスカラーポテンシャル φ および A を用いて

E = −φ
∂t
A
B = ×A

と表せることが分かります。

電磁ポテンシャルの物理的意味

スカラーポテンシャル φ はその勾配が電場となり、 電場は電荷にかかる力です。 位置エネルギーの勾配は物質にはたらく力となりますから、 そのことと対比させて考えると、 スカラーポテンシャル φ は電荷の位置エネルギー と考えられます。

同様に、ベクトルポテンシャル A はその時間微分が電場となります。 運動量の変化は力積となりますから、 そのことと対比させて考えると、 ベクトルポテンシャル A は電場中の電荷を運動させたときに 運動量が変化する量を表します

ゲージ変換

φ および A に対して、任意関数χを用いた

A' = Aχ
φ' = φ +
∂t
χ

という変換を考えると、

φ' −
∂t
A' = −φ
∂t
χ−
∂t
A+
∂t
χ = −φ
∂t
A = E
× A' = ×A×( χ ) = ×A = B

となります。 すなわち、 φ',A' φ,A と同じ E,B を与えます。 この E,B を変えない φ,A の変換をゲージ変換といいます。

このように、 φ,A は任意関数χの分だけ不定性を持ちます。 そのため、 φ = 0 となるようにχを選んだりすることも出来きます。

ローレンツ条件

E = −φ

∂t
A および B = ×A を(ii)および(iii)に代入することで

Δ φ +
∂t
A = −
ρ
ε
Δ Aεμ
2
∂t2
A( εμ
∂t
φ + A ) = −μJ

となります。 ここで、 φ,A A + εμ

∂t
φ = 0 を満たすように選んでやれば

Δ φεμ
2
∂t2
φ = −
ρ
ε
Δ Aεμ
2
∂t2
A = −μJ

という関係式が得られます。 この条件 A + εμ

∂t
φ = 0 をローレンツ条件といい、 ローレンツ条件が満たされるようにゲージ変換することをローレンツ・ゲージ変換といいます。

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