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電磁場のエネルギー保存則

電磁場にはエネルギーを蓄えることが出来ます。 この電磁エネルギーにも当然エネルギー保存則

 
 
S
SdS +
d
dt
( We + Wm ) + Pd + Ps = 0
S = E×H ポインティングベクトル(電磁エネルギーの流れを表す)
We =
 
 
V
wedV
,
we =
1
2
ε| E |2
場に蓄えられた電気的エネルギー
Wm =
 
 
V
wmdV
,
wm =
1
2
μ| H |2
場に蓄えられた磁気的エネルギー
Pd =
 
 
V
pddV
,
pd = σ| E |2 ジュール熱となる電力
Ps =
 
 
V
PsdV
,
ps = EJs 電源から供給される電力

が成り立ちます。 それでは式の導き出し方や、それぞれの文字の意味を順を追って見ていきましょう。

ポインティングの定理

ファラデー・マクスウェルおよびアンペア・マクスウェルの法則より

(i) ×E = −
∂t
B
(ii) ×H = Js + σE +
∂t
B

が成り立っています。 ただし、 J s は電流減から供給される電流の密度で、 σ E は電場によって生じた電流の密度です。

(i)式の両辺 H と内積を取り、(ii)の両辺 E と内積を取り、差を取ると

H×E = −H
∂t
B
−) E×H = EJs + EσE + E
∂t
D
H×EH×E = −E
∂t
DH
∂t
BEσEEJs

となります。 ここで、

H×EH×E = ( E×H )
E
∂t
D = E
∂t
εE =
∂t
(
1
2
ε | E | 2 )
H
∂t
B = H
∂t
μH =
∂t
(
1
2
μ | H | 2 )
EσE = σ| E |2

であることを用いると

( E×H ) +
∂t
(
1
2
ε| E |2+
1
2
μ| H |2 ) + σ| E |2 + EJs = 0

という式が得られます。 積分形で書くと、

 
 
S
( E×H )dS +
d
dt
(
 
 
V
1
2
ε| E |2dV+
 
 
V
1
2
μ| H |2dV ) +
 
 
V
σ| E |2dV +
 
 
V
EJsdV = 0

この式はポインティング(Poynting)の定理(ポインティングは人名)と呼びます。

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