電磁ポテンシャル

(i)	∇× E = − ∂ ∂t B
(ii)	∇× H = J + ∂ ∂t D
(iii)	∇・ D = ρ
(iv)	∇・ B = 0

(iv)より B はソレノイダル場なので、 B = ∇×A となるベクトルポテンシャル A が存在します。 これを(i)に代入すると、

が得られます。 この式より E +

∂

∂t

A は保存場になっているので、 E +

∂

∂t

A = −∇φ となるスカラーポテンシャル φ が存在します。 以上のことをまとめると、電場 E および E 電束密度 B はスカラーポテンシャル φ および A を用いて

E = −∇φ − ∂ ∂t A B = ∇×A

と表せることが分かります。

電磁ポテンシャルの物理的意味

スカラーポテンシャル φ はその勾配が電場となり、 電場は電荷にかかる力です。 位置エネルギーの勾配は物質にはたらく力となりますから、 そのことと対比させて考えると、 スカラーポテンシャル φ は電荷の位置エネルギー と考えられます。

同様に、ベクトルポテンシャル A はその時間微分が電場となります。 運動量の変化は力積となりますから、 そのことと対比させて考えると、 ベクトルポテンシャル A は電場中の電荷を運動させたときに 運動量が変化する量を表します 。

ゲージ変換

φ および A に対して、任意関数χを用いた

という変換を考えると、

となります。 すなわち、 φ',A' は φ,A と同じ E,B を与えます。 この E,B を変えない φ,A の変換をゲージ変換といいます。

このように、 φ,A は任意関数χの分だけ不定性を持ちます。 そのため、 φ = 0 となるようにχを選んだりすることも出来きます。

ローレンツ条件

E = −∇φ −

∂

∂t

A および B = ∇×A を(ii)および(iii)に代入することで

となります。 ここで、 φ,A を ∇・A + εμ

∂

∂t

φ = 0 を満たすように選んでやれば 、

という関係式が得られます。 この条件 ∇・A + εμ

∂

∂t

φ = 0 をローレンツ条件といい、 ローレンツ条件が満たされるようにゲージ変換することをローレンツ・ゲージ変換といいます。