静磁場中のマクスウェルの方程式

時間的に変化しない磁場を静磁場といいます。 静磁場中では、時間微分に関する項が0になるので、マクスウェルの方程式は

微分形	積分形	不連続面での境界条件
∇× H = J ∇・ B = μ∇・H = 0	∮     C H・dl = ∫     S J・dS ∮     S B・dS = μ∮     S H・dS = 0	n×( H1 − H2 ) = K n×( B1 − B2 ) = 0

と表せます。

ベクトルポテンシャル

静磁場中でのマクスウェルの方程式で、 B は ∇・B = 0 を満たすソレノイダル場なので、ベクトルポテンシャル A が定義でき、

と表せます。 電磁気学ではベクトルポテンシャルを使うのは磁場だけなので、ただ単にベクトルポテンシャルと言えば磁場のベクトルポテンシャルのことを指します。 また、電束密度 B が２つのベクトルポテンシャル A₁, A₂ によって表されているとすると

となり、 A₁ − A₂ は保存場となっているので ∇ψ = A₁ − A₂ となるスカラー場ψが定義でき、ベクトルポテンシャルには このスカラー場ψの勾配の分だけの不定性が残るということになります。 このように、ベクトルポテンシャルには任意性があるので、 ∇・A = 0 を満たすようにすることが出来ます 。 通常、静磁場のベクトルポテンシャルはこのように発散が0になるように取ります。

静磁場におけるベクトルポテンシャルの求め方

B = ∇×A, ∇・A = 0 をアンペアマクスウェルの法則に代入すると ∇×(∇×A) = ∇・(∇A) − ΔA = − ΔA より、

が得られます。 この方程式を解けば静磁場の電位を求めることが出来ます。 具体的には、

の解 U = −

1

4π| r |

と −μJ との畳み込み積分

つまり、

と表される。 ただし、 r = (x, y, z), r' = (x−ξ, y−η, z−ζ), r = | r' | である。

静磁場における磁場の求め方

磁場 H は H =

1

μ

B =

1

μ

∇×A で与えられ、ベクトルポテンシャル A は A(x,y,z) =

1

4π

∫

J(ξ,η,ζ)

| r' |

DξDηDζ によって求められるので、磁束密度 B は、

によって求められる。 ただし、 i _r は r' 方向を向く単位ベクトル、すなわち i_r =

r'

| r' |

である。

特に導線に電流が流れているときには JdV = Idl = Ii_lDl となるので、この式は

となる。 ただし、この線積分は導線に沿った経路上での線積分で、 i _l は電流の流れる向きを向く単位ベクトルである。 この式をビオ・サバールの法則という。