電磁場のエネルギー保存則

電磁場にはエネルギーを蓄えることが出来ます。 この電磁エネルギーにも当然エネルギー保存則

∮
 
 
S
S・dS +
d
dt
( We + Wm ) + Pd + Ps = 0
S = E×H

ポインティングベクトル(電磁エネルギーの流れを表す)
We = ∫
 
 
V
wedV ,		 we =
1
2
ε| E |2

場に蓄えられた電気的エネルギー
Wm = ∫
 
 
V
wmdV ,		 wm =
1
2
μ| H |2

場に蓄えられた磁気的エネルギー
Pd = ∫
 
 
V
pddV ,		 pd = σ| E |2

ジュール熱となる電力
Ps = ∫
 
 
V
PsdV ,		 ps = E・Js

電源から供給される電力

が成り立ちます。 それでは式の導き出し方や、それぞれの文字の意味を順を追って見ていきましょう。

ポインティングの定理

ファラデー・マクスウェルおよびアンペア・マクスウェルの法則より

(i)

 ∇×E = −
∂
∂t
B

(ii)

 ∇×H = Js + σE +
∂
∂t
B

が成り立っています。 ただし、 J s は電流減から供給される電流の密度で、 σ E は電場によって生じた電流の密度です。

(i)式の両辺 H と内積を取り、(ii)の両辺 E と内積を取り、差を取ると

H・∇×E = −H・
∂
∂t
B
−) E・∇×H = E・Js + E・σE + E・
∂
∂t
D
H・∇×E−H・∇×E = −E・
∂
∂t
D−H・
∂
∂t
B−E・σE−E・Js

となります。 ここで、

H・∇×E−H・∇×E = ∇・( E×H )
E・
∂
∂t
D = E・
∂
∂t
εE =
∂
∂t
(
1
2
ε | E | 2 )
H・
∂
∂t
B = H・
∂
∂t
μH =
∂
∂t
(
1
2
μ | H | 2 )
E・σE = σ| E |2
であることを用いると
∇・ ( E×H ) +
∂
∂t
(
1
2
ε| E |2+
1
2
μ| H |2 ) + σ| E |2 + E・Js = 0
という式が得られます。 積分形で書くと、
∮
 
 
S
( E×H )・dS +
d
dt
( ∫
 
 
V
1
2
ε| E |2dV+∫
 
 
V
1
2
μ| H |2dV ) + ∫
 
 
V
σ| E |2dV + ∫
 
 
V
E・JsdV = 0
この式はポインティング(Poynting)の定理(ポインティングは人名)と呼びます。