「最小作用の原理」では、
「物体は最短経路上を運動する」というような話をしました。
そこでは、
経路長として
ds=√
x'2+
y'2dt
の積分を用いて、その最小化問題を考えました。
（表示の都合上、時間微分を ' で表します。）
この式は、いわゆる直交座標系での話なわけですが、
一般の座標系の場合について考え直してみましょう。
一般の座標系の場合、
計量（metric）という考え方が出てきます。
計量というのは、空間上の各点における「空間の伸び縮み」、
あるいは「移動に掛かるコスト」を表す量なのですが、
詳細は次節移行で説明していきます。
また、物体に力が掛かっているときには、
平方根の中身に、ポテンシャルに相当する項
u(x, y)
を付け加えて、
ds=√
x'2+
y'2+
u(x, y)dt
の積分の最小化を考えました。
この u という項が一体なんなのかということも、
計量の考え方に基づくことで、すっきりとした理解が可能です。
さらに、計量の考え方の基、
ベクトルポテンシャルというものも考えてみます。
「最小作用の原理」では、
座標を (x, y) で書きましたが、
このページでは、
x
=
(
x1 ,
x2 ,
x3 )
t
（右肩の t は転置の意味。）
と書くことにします。
線素 ds は、
ds
=|ds|=√
x1'2+
x2'2+
x3'2dt
=√x'tx'
dt
=√dxtdx
となります。
x
は直交座標なわけですが、
これに対して、
一般の座標 r を導入します。
x
と
r
の関係を、
r
=
r
(
x
)
と表しましょう。
このとき、
微分演算の性質から、
それぞれの導関数には以下のような関係がなりたちます。
ただし、
記号
は、
i, j 成分が
となるような行列です。
したがって、
となります。
ここで、
t
の部分を G={Gij}
という行列で書き表すなら、
ds
=√dxtdx=√drtGdr=√r'tGr'
dt
となります。
今、
x
と
r
の関係から対称な行列
G
を導出しましたが、
実は、
x
と
r
の関係とかは考えずに、
G
だけ与えるようにしてもかまわないんですね。
G
が与えられれば、
ds
=√drtGdr=√r'tGr'
dt
の積分で距離が定義できます。
この対称行列
G
を計量（metric）と呼びます。
（ここでは行列という言い方をしていますが、
本当は、座標変換のことまで考えると、
「2階の共変テンソル」という方が正確。
テンソルについては、「数学」あたりで説明予定。
）
計量というのは、空間上の各点における「長さの尺度」という意味です。
r が直交座標ではないので、
各点の尺度が違うと考える。
「歪んだ空間での最短経路」では、
ds=√
x'2+
y'2dt
の平方根の中身にスカラーポテンシャルに相当する項
u(x, y)
を加えました。
前節で導入した記法に従って書き直すなら、
ds
=√r'tGr'
+
u
dt
=√drtGdr+dt
u
dt
となります。
特に、一番右の辺を見てください。
なんだか、さらに綺麗にまとめられそうな気がします。
時間変数 t と空間座標 r をまとめて4次元ベクトル q を、
スカラーポテンシャル u と3次元計量 Gをまとめて4次元計量 g を作ります。
q
=(t, r)t
すると、先ほどの線素の式は、
ds
=√dqt
g
dq
という非常にシンプルな形に落ち着きます。
要するに、3次元空間に時間を加えて、
4次元時空として考えた方が式が綺麗にまとまる。
そして、ポテンシャルのつもりで導入した u は、
4次元時空の計量の時間 t に関係する成分だという解釈ができます。
前節で導入した4次元計量 g は、
という形をしていました。
で、これの 0 になっている部分に何か値を入れてみましょう。
（というか、0 のままにしておきたくても、
座標変換の仕方によっては 0 でなくなってしまう場合があります。）
すなわち、
とします。
結論から先に言ってしまうと、
u がスカラーポテンシャル（の定数倍、逆符号）に相当する項なのに対して、
a はベクトルポテンシャルに相当します。
これから、そのことを示していくことにします。
まず、この計量 g 線素 ds の式に代入します。
すると、
ds
=√dqt
g
dq
=√drtGdr+dt
u
dt
+dt a⋅dr
=
√
r'tGr'
+
u
+a⋅r'
dt
となります。
そこで、
作用密度
L
=r'tGr'
+
u
+a⋅r'
と置いて変分問題を解くと、
(
2
G
r'
+a)
−
(
u
+a⋅r'
)
=
0
r
が直交座標 x の時には、
G が単位行列となって、
となります。
最後の2項は、
頑張って展開して計算すると、
ベクトル解析の記法で書くなら（参考: 「数学」）、
となります。
すなわち、
ベクトル解析の知識とてらし合わせるなら、
スカラーポテンシャルを φ、
ベクトルポテンシャルを A
とすると、
となるはずなので、
2つの式を比較して、
となって、定数倍の違い（特に符号が±逆）を除けば、
u, a がポテンシャルに相当するものであることが分かります。
「最小作用の原理」 ≒ 「物体は最短距離を動く」という考え方のもと、
計量という概念を導入しました。
3次元空間に時間変数を加えて、
4次元時空で考えると、
ポテンシャルを計量の一部として考えることができます。
3次元空間の計量を G として、
ベクトル解析で言う所の
スカラーポテンシャルを φ、
ベクトルポテンシャルを A
とすると、
4次元時空の計量は、
あるいは定数の掛け方を変えて、
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