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δ関数のフーリエ変換

δ関数および指数関数のフーリエ変換は以下のようになります。

ℱ[δ(t ± T)] (ω) ＝ exp(±i Tω)
ℱ[ exp (±i ω0 t) ] (ω) ＝ 2π δ(ω ± ω0)

δ関数級数

離散関数を取り扱う際、以下のようにδ関数を等間隔で並べた級数δTがしばしば用いられます。

δT(t) ＝
∞
∑
k＝－∞
δ(t － kT)

この級数δTは、周期Tの周期関数となるので、フーリエ級数展開可能です。 cn ＝

1
T

∫

 T/2
 
－T/2
δT(t)exp(－iω0nt)dt ＝ 1 となるので、 級数δTのフーリエ級数展開は以下のようになります。

δT(t) ＝
∞
∑
k＝－∞
δ(t － kT) ＝
1
T
∞
∑
n＝－∞
exp(iω0 n t)

ただし、ω0 ＝

2π
T
です。

また、この結果と指数関数のフーリエ変換の公式から、 級数δTのフーリエ変換を求めると以下のようになります。

ℱ[ δT(t)] (ω) ＝ ℱ[
1
T
∞
∑
n＝－∞
exp(iω0 n t)](ω) ＝
2π
T
∞
∑
n＝－∞
δ(ω － nω0) ＝ ω0
∞
∑
n＝－∞
δ(ω － nω0)

信号処理の分野では、δ関数で表される信号をインパルス、 級数δTで表される信号をインパルス列と呼びます。

sinc関数

以下のようにして定義された関数sinc x を sinc 関数と呼びます。

sinc x ＝
sin x
x

sinc 関数は以下のような性質を持ちます。

  • sinc 0 ＝ 1

  • nを非0整数とすると、sinc πn ＝ 0

  • ℱ[ sinc ω0 t] (ω) ＝ {

    1  (|ω|≦ω0)
    0  (|ω|＞ω0)

  • sinc ω0 t ＝ ∫

     ω0
     
    －ω0
    exp(iωt)dω

  • δ(t) ＝

lim
ω0→∞

sinc ω0 t

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