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電磁場の持つエネルギー

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電磁場のエネルギー保存則

電磁場にはエネルギーを蓄えることが出来ます。 この電磁エネルギーにも当然エネルギー保存則

∮
 
 
S
S ・dS +
d
dt
( We + Wm ) + Pd + Ps = 0
S = E × H ポインティングベクトル(電磁エネルギーの流れを表す)
We = ∫
 
 
V
we dV , 		we =
1
2
ε| E |2 		場に蓄えられた電気的エネルギー
Wm = ∫
 
 
V
wm dV , 		wm =
1
2
μ| H |2 		場に蓄えられた磁気的エネルギー
Pd = ∫
 
 
V
pd dV , 		pd = σ| E |2 ジュール熱となる電力
Ps = ∫
 
 
V
PsdV , 		ps = E ・ J s 電源から供給される電力

が成り立ちます。 それでは式の導き出し方や、それぞれの文字の意味を順を追って見ていきましょう。

ポインティングの定理

ファラデー・マクスウェルおよびアンペア・マクスウェルの法則より

(i) ∇× E = −
∂
∂t
B
(ii) ∇× H = J s + σ E +
∂
∂t
B

が成り立っています。 ただし、 J s は電流減から供給される電流の密度で、 σ E は電場によって生じた電流の密度です。

(i)式の両辺 H と内積を取り、(ii)の両辺 E と内積を取り、差を取ると

H ・∇× E = − H ・
∂
∂t
B
−) E ・∇× H = E ・ J s + E ・σ E + E ・
∂
∂t
D
H ・∇× E − H ・∇× E = − E ・
∂
∂t
D − H ・
∂
∂t
B − E ・σ E − E ・ J s

となります。 ここで、

H ・∇× E − H ・∇× E = ∇・( E × H )
E ・
∂
∂t
D = E ・
∂
∂t
ε E =
∂
∂t
(
1
2
ε | E | 2 )
H ・
∂
∂t
B = H ・
∂
∂t
μ H =
∂
∂t
(
1
2
μ | H | 2 )
E ・σ E = σ| E |2

であることを用いると

∇・ ( E × H ) +
∂
∂t
(
1
2
ε| E |2+
1
2
μ| H |2 ) + σ| E |2 + E ・ J s = 0

という式が得られます。 積分形で書くと、

∮
 
 
S
( E × H )・dS +
d
dt
( ∫
 
 
V
1
2
ε| E |2dV+∫
 
 
V
1
2
μ| H |2dV ) + ∫
 
 
V
σ| E |2dV + ∫
 
 
V
E ・ J sdV = 0

この式はポインティング(Poynting)の定理(ポインティングは人名)と呼びます。

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