静電場中のマクスウェルの方程式

時間的に変化しない電場を静電場といいます。 静電場中では、時間微分に関する項が0になるので、マクスウェルの方程式は

微分形	積分形	不連続面での境界条件
∇× E = 0 ∇・ D = ε∇・E = ρ	∮     C E・dl = 0 ∮     S D・dS = ε∮     S E・dS = ∫     V ρ・dV	n×( E1 − E2 ) = 0 n×( D1 − D2 ) = ξ

と表せます。

電位

静電場中でのマクスウェルの方程式で、 E は ∇×E = 0 を満たす保存場なので、スカラーポテンシャル φ が定義できて

この電場のスカラーポテンシャル φ を電位といいます。 スカラーポテンシャルの性質から、点Oを基準とした点Pでの電位 φ _P は

と表せます。

静電場における電位の求め方

E = −∇φ を電場に関するガウスの法則に代入すると

が得られます。 この方程式を解けば静電場の電位を求めることが出来ます。 具体的には、

の解 U = −

1

4π| r |

と −

ρ

ε

との畳み込み積分

つまり、

と表される。 ただし、 r = (x, y, z), r' = (x−ξ, y−η, z−ζ), r = | r' | である。

静電場における電場の求め方

電場 E は E = −∇φ で与えられ、電位 φ は φ(x,y,z) =

1

4πε

∫

ρ(ξ,η,ζ)

| r' |

DξDηDζ によって求められるので、電場 E は、

によって求められる。 ただし、 i _r は r' 方向を向く単位ベクトル、すなわち i_r =

r'

| r' |

である。