静電場 (電磁理論)

静電場中のマクスウェルの方程式

時間的に変化しない電場を静電場といいます。静電場中では、時間微分に関する項が0になるので、マクスウェルの方程式は

微分形

積分形

不連続面での境界条件

∇× E = 0

∇・ D = ε∇・ E = ρ

∮

E ・dl = 0

∮

D ・dS = ε∮

ρ・dV

n ×( E ₁ − E ₂ ) = 0

n ×( D ₁ − D ₂ ) = ξ

と表せます。

静電場中でのマクスウェルの方程式で、 E は ∇× E = 0 を満たす保存場なので、スカラーポテンシャル φ が定義できて

E = −∇φ

この電場のスカラーポテンシャル φ を電位といいます。スカラーポテンシャルの性質から、点Oを基準とした点Pでの電位 φ _P は

φ _P = ∫

と表せます。

E = −∇φ を電場に関するガウスの法則に代入すると

Δ φ = −

が得られます。この方程式を解けば静電場の電位を求めることが出来ます。具体的には、

ΔU = δ

の解 U = −
1
4π| r |
と −
ρ
ε
との畳み込み積分

φ = −

U*ρ

つまり、

φ(x,y,z) = −
1
ε
∫

ρ(ξ,η,ζ)U(x−ξ,y−η,z−ζ) D ξ D η D ζ =
1
4πε
∫

ρ(ξ,η,ζ)
| r ' |
D ξ D η D ζ =
1
4πε
∫

ρ
r
dV

と表される。ただし、 r = (x, y, z), r ' = (x−ξ, y−η, z−ζ), r = | r ' | である。

電場 E は E = −∇φ で与えられ、電位 φ は φ(x,y,z) =
1
4πε
∫

ρ(ξ,η,ζ)
| r ' |
D ξ D η D ζ によって求められるので、電場 E は、

E = −
1
4πε
∇∫

ρ(ξ,η,ζ)
| r ' |
D ξ D η D ζ = −
1
4πε
∫

∇
ρ(ξ,η,ζ)
| r ' |
D ξ D η D ζ

=
1
4πε
∫

ρ(ξ,η,ζ) r '
| r ' | ³
D ξ D η D ζ =
1
4πε
∫

ρ i _r
r²
dV

によって求められる。ただし、 i _r は r ' 方向を向く単位ベクトル、すなわち i_r =
r '
| r ' |
である。