（書きかけ）
「関数の関数」の最小化問題、
すなわち、
関数を与えると値が定まるようなものがあって、
その値を最小にするような関数を求めたい場合があります。
例えば、2点間の最短経路を求める問題があります。
空間上の経路というのは関数で表すことができるわけで、
最短経路を求める問題は、
「経路長という値を最小にするような関数を求める」ということになります。
2点間の経路（曲線）を x(t) で、
経路長（弧長）を L[x] とあらわすなら、
この L は正に、関数 x の関数。
（まあ、まっ平らな空間中では、最短経路は明らかに2点を結ぶ直線です。
でも、曲面上に拘束されてる場合なんかは、複雑な問題になる。
例えば、球面上の場合だったら、2点を結ぶ大円上が最短経路。
）
で、こういう、「実関数 → 実数の関数」を汎関数（functional）と呼び、
汎関数の極値問題を変分問題（variation problem）と呼びます。
変分問題の取り扱い方に関しては、
かなりしっかりとした理論が出来上がっていて、
変分学などと呼ばれたりします。
改めて書きますが、
「実関数 → 実数の関数」を汎関数（functional）と呼びます。
「実関数 → 実数」なら何でもよくて、
極端な例でいうと、
δ[x]
=
x(0)
みたいなのも汎関数です。
まあ、これだとあんまり面白くなくて、
実際よく問題になるのは、
以下のように関数 x（とその導関数 x(n)）の定積分で書かれるタイプ。
I
[x
]
=
∫
f
(
x
(t
),
x
(1)(t
),
x
(2)(t
),
⋯
)
dt
このタイプで、一番簡単な例というと、
重み関数 w(t) との内積。
経路長の問題なんかも、この範疇に入る。
端点（x(a), x(b) の値）が固定された定積分形の汎関数
I
[x
]
=
∫
f
(
x
(t
),
x
(1)(t
),
x
(2)(t
),
⋯
)
dt
x(a) = xa ,
x(b) = xb
の極値問題（固定端変分問題）を、微分方程式の問題に帰着。
何階までの導関数が含まれてても一般論があるんだけど、
ここでは簡単化のため、
1階導関数まで含むものに限定して考える。
I
[x
]
=
∫
f
(
x
(t
),
x
(1)(t
)
)
dt
関数の微分に相当するものを考える。
δI[x]
=
I[x + δx]
−
I[x]
=
∫
(
f
(
x
+ δx,
x
(1)
+ δx
(1)
)
−
f
(
x,
x
(1)
)
)
dt
これを変分（variation）と呼ぶ。
で、積分の中身をテイラー展開して、1次の項まで取ると、
δI
[x
]
=
∫
(
f
(x, x
(1))
δx
+
f
(x, x
(1))
δx
(1)
)
dt
2項目（x(1)に関する項）を部分積分して、
δI
[x
]
=
∫
(
f
(x, x
(1))
−
f
(x, x
(1))
)
δx
dt
+
[
f
(x, x
(1))
δx
]
端点固定の問題なので、
δx(a) = δx(b) = 0
で、
δI
[x
]
=
∫
(
f
(x, x
(1))
−
f
(x, x
(1))
)
δx
dt
「実関数の極値 ＝ 微分が 0」だったのに対して、
「汎関数の極値 ＝ 変分が 0」。
これが任意の δx に対してなりたつには、
f
(x, x
(1))
−
f
(x, x
(1))
=
0
すなわち、
固定端の汎関数
I[x]
=
∫
f
(
x(t),
x(1)(t),
x(2)(t),
⋯
)
dt
の極値問題（変分問題）と、
微分方程式
f
−
f
=
0
は同値。
これを、（変分問題に対する）オイラー・ラグランジュ方程式という。
例:
2点間の最短経路
例えば、球面上に拘束されてる場合の最短経路問題を解いてみる。
もう1つ、有名な例として、最速降下曲線 (brachistochrone curve)
曲線 x(t) の弧長は
L[x]
=
∫
|
x(1)(t)
|
dt
例えば、ユークリッド空間上の曲線
x(t)
=
(
x1(t),
x2(t),
x3(t)
)
の場合だと、
（表示の都合上、時間微分を ' で表すと）
L[x
]
=
∫
√
x1'2
+
x2'2
+
x3'2
dt
これに対して、以下のようなものを定義。
E[x
]
=
∫
(
x
1'
2
+
x
2'
2
+
x
3'
2
)
dt
力学で、運動エネルギーが mv2 になることの類推から、
この E をエネルギーと呼んだりする。
平方根がうっとうしいし、
弧長 L の最小化問題をエネルギー E の最小化問題にできないか考えてみる。
L と E の関係
以後、簡単化のために、
平方根の中身を V と書いて、
L[x]
=
∫
√V
dt
,
E[x]
=
∫
V
dt
としておく。
いったん
L
=
∫
√V
dt
,
α
と置いて、
積分
∫
(
√V
−
α
)2
dt
を考えることで、
∫
(
√V
−
α
)2
dt
=
∫
V
dt
−
2α
∫
√V
dt
−
α
2
∫
dt
=
E
−
α
2
(b
− a
)
=
E
−
一番左の辺が、二乗の積分（＝ 常に正）なので、
E
≧
。
等号は、V ≡ α、
ようするに、
V が積分変数 t によらず一定のとき成立。
弧長パラメータ
時間パラメータ t を適当に変数変換して、
√Vdt
=
√Vds
としたとき、
√V
が定数になれば、
前節の結果から、
この変数 s を使う限り、
E
=
。
√V
が定数ということで、
その値を 1 にしておくと、
=
√V
で、結局、
これを、
√V の弧長パラメータと呼ぶ。
√V の座標変換不変性
V
=
2
+
2
+
2
なので、
√Vdt
=
√
2
+
2
+
2
dt
=
√
2
+
2
+
2
ds
=
√
(
)2
+
(
)2
+
(
)2
ds
=
√
2
+
2
+
2
ds
パラメータ変数を何に取ろうが形が一緒。
もちろん、弧長パラメータを使っても一緒。
→
E
=
。
結局、
弧長 L の最小化問題とエネルギー E の最小化問題は同値。
汎関数 ＝ 実関数→実数 の写像
変分問題 ＝ 汎関数の極値問題
変分問題の取り扱い方に関しては、
かなりしっかりとした理論が出来上がってる → 変分学。
結局、変分問題は微分方程式に帰着させられる。
弧長の変分問題とエネルギーの変分問題は同値。
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「変分問題は微分方程式に帰着させて解くことができる」といっても、
微分方程式を解析的に解くのはそれはそれで難問。
というか、解けない場合の方が多い。
微分方程式は、結局、数値計算で近時解を求めたりするけども、
数値計算するなら、変分問題の方が解きやすかったりすることもある。
なので、むしろ、
逆に微分方程式を変分問題に直して数値計算したりもする。
