正則関数

正則関数（regular function）とは、 定義域中の任意の点で微分可能である関数のことを言います。 この正則関数についての説明を行う前に、 まず、複素関数が微分可能とはどういうことなのかを次節「複素関数の微分可能性」で説明します。

複素関数の微分可能性

複素関数 f(z) の微分は実数の場合と同じように、

df
dz
=
lim
|Δz|→0
f( z+Δz )−f(z)
Δz
で定義され、
df
dz
をfの導関数または微分係数といいます。

ところで、複素数とは複素平面上の点と考えることができますから、 2変数関数の場合と同じように、微分を行う向きによって導関数の値が変わってしまう可能性があります。 当然、そのような状態は好ましくありませんので、微分を行う向きに拠らず導関数が一通りに決まるときだけ、微分可能であると定義します。

ここで、複素関数が微分可能であるための条件を調べたいと思います。 微分を行う向きに拠らず導関数が一通りに決まるわけですから、 当然、実軸方向および虚軸方向に沿っての微分係数も一致するはずです。 そのためにまず、実軸方向および虚軸方向に沿っての微分を考えます。 z=x+iy, f(z)= u(x,y)+ iv(x,y) と置くと、 実軸方向に沿った微分は

lim
Δx→0
f( z+Δx )−f(z)
Δx
=
lim
Δx→0
u( x+Δx,y )−u(x,y)+ i( v( x+Δx,y )−v(x,y) )
Δx
=
∂u
∂x
+ i
∂v
∂x
となり、虚軸方向に沿った微分は
lim
Δy→0
f( z+iΔy )−f(z)
iΔy
=
lim
Δy→0
v( x,y+Δy )−v(x,y)− i( u( x,y+Δy )−u(x,y) )
Δy
=
∂v
∂y
− i
∂u
∂y
となります。 これらが一致していてほしいわけですから、微分可能な複素関数は u,vが微分可能でかつ、
∂u
∂x
=
∂v
∂y
∂v
∂x
= −
∂u
∂y
という関係式が成り立っているはずです。 この関係式をコーシー・リーマンの関係式といいます。 逆に、この関係式が成り立つならば微分可能であることも証明できますので、教科書などを調べてみてください。

コーシー・リーマンの関係式が成り立つとき、すなわち微分可能であるとき、その関数は「正則である」といいます。 また、定義域中の任意の点でコーシー・リーマンの関係式が成り立つ関数のことを「正則関数」といいます。

正則関数の性質

前節で述べたように、

∂u
∂x
=
∂v
∂y
∂v
∂x
= −
∂u
∂y
を満たす関数 f(z)= u(x,y)+ iv(x,y) は正則であるといいます。 関数fが正則であるとき、以下の定理が成り立ちます。

微分可能

fは微分可能です。

関数が正則であることは、その関数が微分可能であることの必要十分条件です。 そして、正則な関数の微分はすべて実数変数のときと同じように行えます。 例えば、 zn の導関数は nz n−1 ですし、 ez の導関数は ez です。

ちなみに、ここでは証明は省略しますが、正則関数は必ず無限階微分可能です。 実数関数の場合、N 階微分できたからと言って、 N +1 回目の微分もできるとは限りませんでしたが、 複素関数の場合は、1 階微分できれば必ず無限階微分可能になります。

定積分が経路によらない

複素平面状の任意の経路Cに対して ∮

 
 
C
f(z)dz =0 になります。

∮
 
 
C
f(z)dz に対してグリーンの定理（「[グリーンの定理](../vector_analysis/rotation.md#green)」参照）を用いると、
∮
 
 
C
f(z)dz =∮
 
 
C
( u(x,y)+iv(x.y) )( dx+idy )=∮
 
 
C
( u(x,y)+iv(x.y) )dx +∮
 
 
C
( −v(x,y)+iu(x.y) )dy
= ∫
 
 
S
{ ( vx(x,y)−iux(x,y) ) − ( uy(x,y)+ivy(x,y) ) } dxdy
= ∫
 
 
S
{ ( vx(x,y)−uy(x,y) ) −i( vy(x,y)+ux(x,y) ) } dxdy
となります。 この式にコーシー・リーマンの関係式を代入すると、
∫
 
 
S
{ ( vx(x,y)−uy(x,y) ) −i( vy(x,y)+ux(x,y) ) } dxdy =∫
 
 
S
0dxdy =0
となり、したがって、
∮
 
 
C
f(z)dz =0
が成り立ちます。

この式は、閉路上の積分が常に 0 になるということですが、 これはすなわち、 正則関数の積分はその経路に拠らず、両端の点のみで決まるということを示しています。 つまり、 始点がα、終点がβであるような任意の積分経路Cに対して、正則関数の積分は

∫
 
 
C
f(z)dz =∫
 β
 
α
f(z)dz = F(β)− F(α)
とあらわすことができるということです。 （途中の経路がどうであれ、始点と終点のみで値を表せる。） ここで、Fは
dF
dz
= f のとなる関数で、実数関数のときと同じく、原始関数と呼びます。

共役変数を含まない

fは z* を含みません。

複素関数fは引数zの実部xおよび虚部yを用いて f(x,y) とあらわせます。 z=x+iy, z*=x−iy （ z* はzの共役複素数 ）ですから、

x=
1
2
( z +z* )
y=
1
2i
( z −z* )
となりますので、
∂f
∂z
=
∂x
∂z
∂f
∂x
+
∂y
∂z
∂f
∂y
=
1
2
∂f
∂x
+
1
2i
∂f
∂y
∂f
∂z*
=
∂x
∂z*
∂f
∂x
+
∂y
∂z*
∂f
∂y
=
1
2
∂f
∂x
−
1
2i
∂f
∂y
という関係式が成り立ちます。 ここで、コーシー・リーマンの関係式から
i
∂f
∂x
=
∂f
∂y
が成り立ちますので、
∂f
∂z
=
∂f
∂x
= −i
∂f
∂y
∂f
∂z*
= 0
となります。 すなわち、 正則な関数fは z\* を含みません 。 例えば、 zn や ez などは正則ですが、 |z| 2 = zz\* や Re(z)=
z +z\*
2
などは正則ではありません。

無限回微分可能な実数関数 f(x) の実変数 x を複素変数 z で置き換えたものは、当然、 z* を含みませんから、正則関数になります。

まとめ

一般に複素関数は実数関数と同じようには扱えません。 しかし、コーシー・リーマンの関係式を満たす正則な複素関数は、 微分・不定積分を定義でき、しかも実数のときとまったく同じように扱えます。 また、微分可能な実数関数 f(x) のxを複素数zに置き換えた複素関数 f(z) は正則になります。