δ関数および指数関数のフーリエ変換は以下のようになります。
ℱ[δ(t ± T)](ω) ＝
exp(±i Tω)
ℱ[exp(±i ω0 t)](ω) ＝
2π δ(ω ± ω0)
離散関数を取り扱う際、以下のようにδ関数を等間隔で並べた級数δTがしばしば用いられます。
この級数δTは、周期Tの周期関数となるので、フーリエ級数展開可能です。
cn ＝
∫
δT(t)
exp(－iω0nt)
dt ＝ 1
となるので、
級数δTのフーリエ級数展開は以下のようになります。
δ
T(t
)
＝
δ
(t － kT
)
＝
exp(iω
0 n t
)
ただし、ω0 ＝ です。
また、この結果と指数関数のフーリエ変換の公式から、
級数δTのフーリエ変換を求めると以下のようになります。
ℱ[
δ
T(t
)
]
(ω
)
＝
ℱ[
exp(iω
0 n t
)
]
(ω
)
＝
δ
(ω － nω
0)
＝
ω
0
δ
(ω － nω
0)
信号処理の分野では、δ関数で表される信号をインパルス、
級数δTで表される信号をインパルス列と呼びます。
以下のようにして定義された関数sinc x を sinc 関数と呼びます。
sinc 関数は以下のような性質を持ちます。
- sinc 0 ＝ 1
- nを非0整数とすると、sinc πn ＝ 0
-
ℱ[sinc ω0 t](ω)
＝
{
-
sinc ω0 t
＝
∫
exp(iωt)
dω
-
δ(t)
＝
sinc ω0 t
