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ヤコビの楕円関数

第1種不完全楕円積分 F(φ, k) の逆関数として定義される楕円関数群をヤコビの楕円関数(Jacobian elliptic functions)と呼びます。

  • φ(u, k) = F-1(φ, k)このφを(ヤコビの楕円関数の)振幅(amplitude)と呼ぶ。

  • sn(u, k)sin(φ)

  • cn(u, k)cos(φ)

  • dn(u, k) = √(1 - k2sn2(u, k))

執筆予定

ヤコビの楕円関数の公式
θ(テータ)関数
テータ関数とヤコビの楕円関数との関係

メモ

諸定数

k  … ヤコビの楕円関数の率(modulus、複数形 moduli。母数、法と訳す場合も)。
k' … 補率(complementary modulus)。k' = √(1 - k^2)

数値計算ライブラリなどでは、 m = k2, m' = k'2 = 1 - m というように、 率・補率の2乗をパラメータとして使う場合も多い。 (k は公式中のほとんどの箇所で、k2 の形で出てくるため、 m = k2 を使った方が計算効率がいい。)

K = K(k) … 率 k の完全楕円積分。ヤコビの楕円関数の周期の1つになる。 K' = K(k') … 率 k' の完全楕円積分。これもヤコビの楕円関数の周期の1つになる。

Legendre は k = sinα k' = cosα となるような値αを定義し、率角(modular angle)と呼んだ。

グラフ

[![ヤコビの楕円関数(k=0.1)](/media/ufcpp2000/math/JacobiSn01.png)](/media/ufcpp2000/math/JacobiSn01.png)
ヤコビの楕円関数(k=0.1)
[![ヤコビの楕円関数(k=0.5)](/media/ufcpp2000/math/JacobiSn05.png)](/media/ufcpp2000/math/JacobiSn05.png)
ヤコビの楕円関数(k=0.5)
[![ヤコビの楕円関数(k=0.9)](/media/ufcpp2000/math/JacobiSn09.png)](/media/ufcpp2000/math/JacobiSn09.png)
ヤコビの楕円関数(k=0.9)

簡単な性質

sn(-u) = -sn(u)
sn(2K - u) = sn(u)

cn(-u) = cn(u)

sn2 + cn2 = 1 k2 sn2 + dn2 = 1 dn2 - k2 cn2 = k'^2

周期

sn(u + 2mK + 2niK', k) = (-1)m     sn(u, k)
cn(u + 2mK + 2niK', k) = (-1)(m+n) cn(u, k)
dn(u + 2mK + 2niK', k) = (-1)^n     dn(u, k)

ヤコビの楕円関数の周期
周期 零点
sn 4K, 2i K' 2mK + 2n i K' 2m K + (2n+1) i K'
cn 4K, 2(K + iK') (2m+1)K + 2n i K' 2m K + (2n+1) i K'
dn 2K, 4i K' (2m+1)K + (2n+1) i K' 2m K + (2n+1) i K'
上から順に sn, cn, dn の値
Im(u)\Re(u) 0 K 2K 3K
0 0 1 0 -1
1 0 -1 0
1 k' 1 k'
K' 1/k -1/k
-ik'/k ik'/k
0 0
2K' 0 1 0 -1
-1 0 1 0
-1 -k' -1 -k'
3K' 1/k -1/k
ik'/k -ik'/k
0 0

特別な場合(k=0, 1)

k = 0 のとき、
sn(u, 0) = sin u
cn(u, 0) = cos u
dn(u, 0) = 1

k = 1 のとき、 sn(u, 0) = tanh u cn(u, 0) = 1 / cosh u dn(u, 0) = 1 / cosh u

sc, dc など

sn = sinφ(u)
cn = cosφ(u)
dn = √(1 - k2 sn2)

に加え、

ns = 1 / sn nc = 1 / cn nd = 1 / dn

sc = sn / cn cs = cn / sn

cd = cn / dn dc = dn / cn

ds = dn / sn sd = sn / dn

あわせて12個の楕円関数を定義する。 ↑ 要するに、1文字目が零点、2文字目が極の分布を表していて、

s … 2m K + 2n i K' c … (2m+1)K + 2n i K' d … (2m+1)K + (2n+1) i K' n … 2m K + (2n+1) i K'

加法定理

denom = 1 - k2 sn2(u) sn^2(v) とおくと、

sn(u + v) = sn(u) cn(v) dn(v) + cn(u) dn(u) sn(v) ------------------------------------- denom

cn(u + v) = cn(u) cn(v) - sn(u) dn(u) sn(v) dn(v) ------------------------------------- denom

dn(u + v) = dn(u) dn(v) - sn(u) cn(u) sn(v) cn(v) ------------------------------------- denom

虚数

sn(iu, k) = i sn' / cn' = i sc(u, k')
cn(iu, k) =     1 / cn' =   nc(u, k')
dn(iu, k) =   dn' / cn' =   dc(u, k')

シフト

sn(u + K) =     cn(u) / dn(u) =     cd
cn(u + K) = -k' sn(u) / dn(u) = -k' sd
dn(u + K) =  k'     1 / dn(u) =  k' nd

sn(u + iK') = (1/k) 1 / sn(u) = (1/k) ns cn(u + iK') = -(1/k) dn(u) / sn(u) = -i(1/k) ds dn(u + iK') = -i cn(u) / sn(u) = -i cs

k > 1 の場合への拡張

sn(u, 1/k) = k sn(u/k, k)
cn(u, 1/k) =   dn(u/k, k)
dn(u, 1/k) =   cn(u/k, k)

複素数

定義域が複素数、すなわち sn(u + iv, k) (u, v∈R) の場合。

sn = sn(u, k), sn' = sn(v, k') cn = cn(u, k), cn' = cn(v, k') dn = dn(u, k), dn' = dn(v, k') と置くと、

加法定理および虚数の場合の公式から

denom = cn'2 + k2 sn^2 sn'2 = 1 - dn2 sn'^2

sn(u + iv, k) = sn dn' + i cn dn sn' cn' ------------------------ denom

cn(u + iv, k) = cn cn' - i sn dn sn' dn' ------------------------ denom

dn(u + iv, k) = dn cn' dn' - i k^2 sn cn sn' ---------------------------- denom

倍周期・半周期公式

加法定理より、

倍周期公式 denom = 1 - k2 sn4(u)

sn(2u) = 2 sn(u) cn(u) dn(u) ------------------- denom

cn(2u) = 1 - 2 sn2(u) + k2 sn^4(u) --------------------------- denom

cn(2u) = 1 - 2 k2 sn2(u) + k2 sn4(u) ------------------------------- denom

半周期公式 sn^2(u/2) = 1 - cn(u) --------- 1 + dn(u)

cd^2(u/2) = dn(u) + cn(u) ------------- 1 + dn(u)

cd^2(u/2) = dn(u) + cn(u) ------------- 1 + cn(u)

u = K/2 のときの値 sn(K/2) = 1 / √(1 + k') cn(K/2) = √(k' / (1 + k')) dn(K/2) = √(k')

微分

(d/du)sn = cn dn
(d/du)cn = - sn dn
(d/du)dn = -k^2 sn cn

メモ(theta 関数)

・テータ関数

以下の4つの関数を、Jacobi のテータ関数(Jacobian theta function)という。

θ1(z, q) = Σ_-∞^∞ (-1)^(n - 1/2) q^((n+1/2)^2) exp((2n + 1) i z)
θ2(z, q) = Σ_-∞^∞                q^((n+1/2)^2) exp((2n + 1) i z)
θ3(z, q) = Σ_-∞^∞                q^(n^2)       exp(2n i z)
θ4(z, q) = Σ_-∞^∞ (-1)^n         q^(n^2)       exp(2n i z)

θの異字体(LaTeX で言う所の \vartheta)を使う方が一般的。
写植の都合で、θあるいはΘを使うこともあり。
ここでは、θで表記。

q をθ関数のノーム(nome、州という意味の単語)という


準二重周期関数を持つ。

θ1(z + π) = -θ1(z)
θ2(z + π) = -θ2(z)
θ3(z + π) =   θ3(z)
θ4(z + π) =   θ4(z)

θ1(z + τπ) = -N θ1(z)
θ2(z + τπ) =   N θ2(z)
θ3(z + τπ) =   N θ3(z)
θ4(z + τπ) = -N θ4(z)

q = exp(iπτ)
N = q^-1 exp(-2 i z)


・楕円関数との関係

Jacobi の楕円関数 sn, cn, dn との間に、

           θ3 θ1(u / θ3^2, q)
sn(u, k) = ---------------------
           θ4 θ4(u / θ3^2, q)

           θ4 θ2(u / θ3^2, q)
cn(u, k) = ---------------------
           θ2 θ4(u / θ3^2, q)

           θ4 θ3(u / θ3^2, q)
dn(u, k) = ---------------------
           θ3 θ4(u / θ3^2, q)
(ただし、θi = θi(0)  (i = 1~4))

q = exp(-π K'(k) / K(k))

という関係あり。

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