概要

共変ベクトル ＝ 接ベクトルの話を。

接ベクトル

本題の微分形式に入る前に、 先に

∂

∂ ui

に関する話をしましょう。 前節で、共変ベクトル aⁱ

∂

∂ ui

は接ベクトルとも呼ばれるという話をしました。 ここではその意味について説明します。

∂

∂ ui

は書くのが大変なので、 ∂u_i と略記。 添え字が下付きになっていることに注意。

執筆予定

・接ベクトル

まず、3次元空間上の曲面で説明
x ＝ (x(s, t), y(s, t), z(s, t))
と表される曲面に対して、
∂x/∂s と ∂x/∂t はこの曲面の接線の1つになる。

その線形結合
a (∂x/∂s) ＋ b (∂x/∂t)
も接平面上のベクトルになる。

なので、いっそのこと、
a(∂/∂s) ＋ b(∂/∂t)
という微分演算子を接ベクトルと呼んでしまう。

一般に、N 次元多様体 x を考える場合でも、
座標 u に対して、微分演算子の線形結合

fi(∂/∂ui)

を接ベクトルと呼ぶ。

fi は u の関数ね。
x の各点 u に対して1つのベクトル fi が定まる。
位置に関する関数ということで、これを接ベクトル場と呼んだりする。
あるいは、単に「ベクトル場」というと接ベクトル場のこと。

接ベクトル場は、要するに ∂/∂ui を基底とするベクトル空間になるわけだけど、
∂/∂ui の座標変換規則を考えると、接ベクトル場には

fi∂/∂ui
＝
fi(∂vj/∂ui)∂/∂vj

という座標変換規則がある。

- ベクトル場と積分曲線

V(u) ＝ Vi(u) (∂/∂ui) を接ベクトル場として、
du/dt ＝ V(u)
という微分方程式の解を V の積分曲線という。

この微分方程式の解によって、ベクトル場 V に沿った曲線が描かれる。

運動方程式とか、多くの微分方程式がこの形に帰着される。

v ＝ φ(u) のとき、
du/dt ＝ Vi∂/∂ui
の積分曲線を u(t) とすると、
dv/dt ＝ Vi(∂vj/∂ui)∂/∂vj
の積分曲線を v(t) で、
v(t) ＝ φ(u(t)) となるものが必ず存在する。