ベクトルと線形空間

概要

ベクトルというのは元々は物理学で空間上の位置、速度、加速度などを表すためにできたものです。 これは現在では幾何ベクトル（geometric vector）と呼ばれているものに相当します。

これに対して、現在では、幾何ベクトルのある性質（線形性）と同じ性質を持つような集合を抽象的にとらえて考えます。 そのような集合を線形空間（linear space）あるいはベクトル空間（vector space）と呼び、 線形空間上における数学的議論を線形代数（linear algebra）と呼びます。

ベクトル

ここではまず、元々の意味でのベクトル、 すなわち、向きと大きさを持つ量としてのベクトルについて復習しましょう。

幾何ベクトル

高校数学などで最初に習う、 向きと大きさを持つ量を幾何学的なイメージで捉えたものを幾何ベクトル（geometric vector）と呼びます。

すなわち、幾何ベクトルは、図1のように、原点から伸びる矢印で表されます。 図2のように、平行移動すると一致するような2つのベクトルは等しいと考えます。

このような矢印に対して、以下のようにして、 和と定数倍を定義します。

• 和 a ＋ b： 2つの矢印 a, b を繋ぎ合わせる（図3）
• 定数倍 k a： 矢印 a を倍率 k で拡大/縮小（図4）

ここで、向きと大きさを持った量であるベクトルに対して、 大きさのみを持つ量をスカラー（scalar）と呼び、 上述の定数倍はスカラー倍と呼ぶことも多いです。

数ベクトル

K を実数または複素数全体の集合として、 K の元の組（順序対）に対して、 以下のようにして和と定数倍（スラカー倍）を定義したものを数ベクトル（numeric vector）と呼びます。

• 和 a ＋ b ＝ ( a₁ ＋ b₁ , a₂ ＋ b₂ , a₃ ＋ b₃ )
• 定数倍 k a ＝ ( k a₁ , k a₂ , k a₃ )

平行線の公理（直線と、その上にない1点に対し、その点を通り直線と平行な直線がただ1つ存在する）の元で、幾何ベクトルに対して適当な座標を導入することで、 幾何ベクトルと1対1に対応する数ベクトルができます。 数ベクトルの和・定数倍は、 それぞれに対応する幾何ベクトルの和・定数倍に一致します。

線形空間

幾何ベクトルや、数ベクトルという具体的なものから離れて、 ベクトルの持つ、線形性という特徴に着目して、 抽象化した概念を 線形空間（linear space） あるいはベクトル空間（vector space）と呼びます。

すなわち、 体 K に対して、 a, b ∈ K, 　x, y ∈ V のとき、 和 x ＋ y と スカラー倍 a x が定義できて、

という性質を満たすような集合 V が線形空間です。 このような性質を線形性（linearity）と呼びます。

例

抽象的に捕らえることで、さまざまなものが線形空間とみなせるようになります。

微分方程式の解

x₁ , x₂ がいずれも微分方程式

の解のとき、 その線形結合 a x₁ ＋ b x₂（ただし、a, b ∈ C）もこの微分方程式の解となります。 したがって、この手の微分方程式の解は線形空間をなします。

一般に、x とその（高階）微分の1次式になっている微分方程式の解は線形空間になります。

多項式

f₁ , f₂ が実係数 n 次多項式のとき、 a f₁ ＋ b f₂（ただし、a, b ∈ R）も実係数 n 次多項式になります。 したがって、 n 次多項式全体の集合は線形空間をなします。

次元

体 K 上の線形空間 V の m 個の元 v_i ∈ V （i ＝ 1 ～ m）に対し、

となるような K の元 a_i が存在するとき、 v_i は線形従属（linear dependent）であるといい、 そうでないとき線形独立（linear indipendent）であるといいます。

線形空間 V において、 N 個のベクトルまでは線形独立 （ ∀ a_i ∈ K　 s.t.

N

∑

i ＝ 1

a_i v_i ≠ 0 ） にできて、 N ＋ 1 個のベクトルになると必ず線形従属 （ ∃ a_i ∈ K　 s.t.

N ＋ 1

∑

i ＝ 1

a_i v_i ＝ 0 ） になるような自然数 N が存在するとき、 N を V の次元（dimension）と呼びます。

基底

「数ベクトル」 で、 幾何ベクトルに適当な座標系を与えたものが数ベクトルだと説明しましたが、 座標系（coordinate system）の与え方は1通りではありません。

座標系として最もよく用いられるのは、 図5に示すような、直交座標系ですが、 別にこのような座標系の取り方以外にも、いくらでも座標系の取り方があります。 例えば、図6のように、適当に選んだ2つのベクトル x, y を使って幾何ベクトルを表すことも出来ます。

さて、このとき、 図5の場合なら i_x , i_y、 図6の場合なら x, y を座標系の基底（base）といいます。 あるいは、逆に、 {i_x , i_y} や {x, y} 等の、 基底の組自体を座標系と呼びます。

図5の場合、a を座標系 {i_x , i_y} で表すと、その座標が (8, 6)。 図6の場合、a を座標系 {x, y} で表すと、その座標が (3, 1)、ということになります。

ちなみに、任意の（有限次元の）線形空間は、適当な座標系を導入することで、数ベクトルとして表すことができます。

余談

余談1

力学等の、ベクトルが用いられる多くの分野では、 ベクトルの絶対値や内積が頻出します。 しかしながら、線形空間の定義には絶対値や内積の定義は含まれません。 これらの定義できるような集合は、 距離空間や内積空間と呼ばれます。

これは要するに、 まずは線形性という特徴にだけ着目し、線形性を持つ集合の性質を十分に考察してから、 別途、絶対値や内積を定義できる集合を考察しようということです。

余談2

体 K 上の線形空間と同様にして、 体 K の代わりに環 R を使って定義したものを R-加群といいます。 体よりも環のほうが条件がゆるいので、 線形空間よりも加群のほうが条件のゆるい集合になります。

線形空間に対する定理の中には、 加群に対しても成立するものもあれば、 そうでないものもあり、 加群に関する考察も1つの数学の分野となっています。

余談3

複素数は実数上の2次元線形空間とみなすこともできます。 詳しくは 「体の拡大」 で説明しますが、 一般に、 体 K の代数拡大体 F は、 K 上の線形空間になります。