超関数
詳しくは別項 「超関数」 で述べますが、 超関数という考え方では1点だけで値が∞になるような関数（を拡張したもの）を定義できます。 基本的なアイディアとしては、
- 1点で値が∞になっても、その1点を含む任意の区間での積分の値が有限ならば OK ということにする。
- 2つの超関数 f, g の等値性は、任意の積分区間で ∫
f(x) dx ＝ ∫
g(x) dx が成り立つかどうかで決める。
という感じです。
これで∞の値を持つ関数（のようなもの）を定義できるわけですが、 これには欠点もあります。 積分によって関数の等値性を決めるため、 1点で値が異なっていても、積分値が同じならば区別がつかないことになります。 1点でも値が異なれば、関数としては別のものになりますが、 超関数としては区別がつきません。
例えば、以下の2つの関数f, gは関数論的には相異なるものですが、超関数論的には同じものになります。 （1点に限らず、可算無限個の点で異なる値を持つ2つの関数は超関数論的には同等。）
f(t) ＝ t
g(t) ＝
{
| t | (t≠0) |
| 1 | (t＝0) |
δ関数
以下のような超関数を考えて見ましょう。
∫
δ(x) dx
＝
{
| b |
| a |
| 1 | ( 区間 (a, b) が 0 を含む ) |
| 0 | ( 区間 (a, b) が 0 を含まない ) |
このような超関数は、通常の関数の極限として作ることが出来て、 例えば、 以下のようなにして作ることが出来ます。
fa(x)
＝
{
| ( －a/2 ＜ x ＜ a/2 ) | ||
| 0 | ( それ以外 ) |
δ(x)
＝
fa(x)
| lim |
| a → 0 |
この関数は、 x ＝ 0 に置いて∞の値を持ちます。
まとめ
超関数という概念を導入することで、 1点でだけ∞になるような関数を考えることが出来ます。 ただし、全くのノーリスクで∞の概念を得られるわけではなく、 関数として1点で値が異なっていても、超関数としては区別がつかないという欠点もあります。
