双1次変換

基本アイディア

微分を差分で近似します。

さらに、

d

dt

f(t － Δt/2)を

と近似し、フーリエ変換すると、

となります。 ただし、s ＝ jω, z ＝ expjωΔt です。 したがって、s とz^－1 の間には、

という近似式が成り立ちます。 この近似式に基づく変換の仕方を双1次変換といいます。 （双1次とは、分母・分子が共に1次であるような有理式のことを指します。）

双1次変換には1つ大きな利点があります。 式(1)は sの1次多項式をz^－1の1次有理式に変換しています。 そのため、 f(s)がsのn次有理式であるとき、 f(s)を式(1)を使って変換した結果はz^－1のn次有理式になります。 すなわち、式(1)の近似方法を使用すれば有理式の次数を変えずにs領域からz領域に変換することができます。

特性

本来、z は、

という関係式が成り立つべきですが、双1次変換を用いる（すなわち、式(1)による近似を行う）ことによりどのような影響が出るかを考えてみましょう。

まず、2つの式中の変数を区別するため、以下のように添字aおよびdを付けて式を書き直します。

本来の周波数である ω_a をアナログ角周波数と呼び、 双1次変換で近似した周波数 ω_d をディジタル角周波数と呼びます。 ω_a と ω_d の間の関係式を求めるため、 式(2)を式(3)に代入すると、

という関係式が得られます。 tan関数の性質から、 ω_aおよびω_dの値が小さいうちは ω_d ≒ ω_a となっていることが分かります。

具体例

1次有理式の場合

を

で

に変換。

今後、記述を簡単にするために、以下のように定数を定める。

t と s, c の間には以下の関係あり。

まず、s に関して、 定数項に t(1 ＋ z^－1)、 1次の項に (1 － z^－1) を代入。

次に、t に関して、 定数項に (1 ＋ c)、 1次の項に s を代入。

z を展開することにより、以下の関係式が得られる。

2次有理式の場合

を

に変換。

1次有理式の場合と同様に、s に関して、 定数項に t²(1 ＋ z^－1)²、 1次の項に t(1 ＋ z^－1)(1 － z^－1)、 2次の項に (1 － z^－1)² を代入。

次に、t に関して、 定数項に (1 ＋ c)、 1次の項に s、 2次の項に (1 － c) を代入。

z を展開することにより、以下の関係式が得られる。