初等関数の複素数への拡張

概要

指数関数

指数関数と三角関数の級数展開式を見れば一目瞭然なんですが、 exp(iθ)=cos θ + i sin θ という関係式が成り立ちます。 この式はオイラーの公式などと呼ばる有名な公式です。 念のために級数展開式を書くと、以下の通りです。

この式から、複素数 x + iy に対する指数関数を以下のように定義できます。

余談

まあ、「オイラーの公式を使って定義できます」というだけでもつまらないので少し余談を。

指数関数の性質の1つ、有名なのに指数法則という奴がありますね。

で、これとは別に、複素数にはドモアブル（de Moivre）の定理ってのがあります。

オイラーの公式を見れば当然の結果なわけですが、 cos x + i sin x は指数関数的な性質を持っているわけです。 この式は三角関数の加法定理だけを使っても証明できるわけで、 三角関数が指数関数的な性質を持っているということは、 オイラーの公式が発見される以前から知られていたんです。 他にも、

というように、導関数が指数関数と同じような形になります。 なので、級数展開というというものに頼らずとも、 こういう性質から、 指数関数と三角関数の間に密接な関係があるだろうということは想像できると思います。

三角関数

オイラーの公式から、 sin x =

e ix − e −ix

2i

、 cos x =

e ix + e −ix

2

この式から sin ix, cos ix が定義可能。

tan =sin / cos= ・・・

ついでに双曲線関数も

対数関数

log α =log|α|+ i arg(α)

arg は 2π の任意性を持つ → log は多価関数。 周期関数の逆関数なので、多価関数になって当然。

arg のうち 0≦θ＜2π の範囲にあるものを arg の主値と呼び、Arg で表す。 log|α|+ i Arg(α) を log の主値と呼び、Log で表す。

冪関数

α^β=exp( β log α ) で定義。 log が多価関数なので、これも多価。